De trigonometriska identiteter är förhållanden mellan trigonometriska förhållanden, vilket är sant för alla variabelvärden. Till exempel:
tan θ = sin θ / cos θ
Det är en trigonometrisk identitet som relaterar till tre förhållanden av vinkeln θ, tangenten, sinus och cosinus för nämnda vinkel.
Denna identitet gäller för alla värden, utom de som gör 0 nämnaren. Cos θ är 0 för θ = ± π / 2, ± 3π / 2, ± 5π / 2 ... Ett annat exempel på trigonometrisk identitet är:
sin x. sek x. ctg x = 1
Artikelindex
Det finns två grundläggande sätt att visa att en trigonometrisk identitet är sant:
1 - Omvandla en av medlemmarna i jämställdheten till den andra genom praktiska algebraiska manipulationer.
2- Utveckla båda medlemmarna av jämställdheten separat, tills respektive slutliga uttryck för var och en är exakt samma.
I den föreslagna identiteten kommer vi att transformera vänster sida av jämställdheten, för vilken vi uttrycker ctg x och sec x i termer av sinus och cosinus enligt följande:
ctg x = cos x / sin x
sek x = 1 / cos x
Vi ersätter detta uttryck till vänster om identiteten och förenklar:
sin x. (1 / cos x). (cos x / sin x) = (sin x. cos x / cos x. sin x) = 1
Och identitetens riktighet är redan verifierad.
Det finns flera klasser av trigonometriska identiteter. Vi kommer kort att beskriva de viktigaste nedan:
Vi skiljer två typer av grundläggande identiteter:
I) De som uttrycks genom grundförhållandena sinus, cosinus och tangent:
II) De härledda från paritet. Vi vet från sin graf att sin x är en udda funktion, vilket betyder att:
sin (-x) = - sin x
För sin del är cos x en jämn funktion, därför:
cos (-x) = cos x
Sedan:
tg (-x) = sin (-x) / cos (-x) = -sen x / cos x
Liknande:
De erhålls från tillämpningen av Pythagoras sats på den högra triangeln av ben a och b och hypotenus c. Låt oss se:
Pythagoras teorem säger att:
ctvå = atvå + btvå
Dela upp allt med ctvå:
ctvå / ctvå = (atvå / ctvå) + (Btvå / ctvå)
Termen till vänster är 1 och komma ihåg att sinus och cosinus för den spetsiga vinkeln α definieras som:
sin α = a / c
cos a = b / c
Resultat:
1 = (sin α)två + (cos α)två
Denna identitet är känd som grundläggande identitet.
Förfarandet kan utföras genom att dela med atvå och btvå, vilket ger upphov till ytterligare två identiteter:
sektvå a = 1 + tgtvå a
skördatvå a = 1 + ctgtvå a
De viktigaste trigonometriska identiteterna för cosinus, sinus och tangens för addition och subtraktion är följande:
Dessa identiteter kan bevisas geometriskt eller också med Eulers formel:
ochia = cos α + i sin α
Låt oss se vad som händer med formeln när vi ersätter summan av två vinklar α och β:
ochi (a +β) = cos (α + β) + i sin (α + β)
Detta uttryck är komplext, dess verkliga del är cos (α + β) och dess imaginära del är i sin (α + β). Vi sparar detta resultat för senare användning och fokuserar på att utveckla den exponentiella delen:
ochi (a +β) = eia ⋅ eip = (cos α + i sin α). (cos β + i sin β) =
= cos α⋅cos β + cos α⋅i sin β + i⋅sen α cos β - sin α⋅sen β
Den verkliga delen av detta uttryck är den som inte multipliceras med den imaginära enheten "i":
cos α⋅cos β - sin α. sin β
Den imaginära delen är därför:
i (cos α⋅sen β + sin α⋅cos β)
För att två komplexa uttryck ska vara lika måste den verkliga delen av en vara lika med den verkliga delen av den andra. Detsamma händer med imaginära delar.
Vi tar det sparade resultatet och jämför det med detta:
cos α. cos β - sin α. sin β = cos (α + β)
i (cos α⋅sen β + sin α⋅cos β) = i sin (α + β)
sin (α + β) = (cos α. sin β + sin α⋅cos β)
I de tidigare formlerna tar vi β = α och utvecklar:
sin (α + α) = sin 2 α = sin α⋅cos α + cos α. sin α = 2⋅ sin α ⋅ cos α
cos (α + α) = cos 2 α = cos α⋅cos α - sin α⋅sen α = costvå α - synd två a
tg (α + α) = tg 2 α = [tg α + tg α] / [1- tg α⋅tg α] = 2tg α / 1- tgtvå a
Om vi i det andra uttrycket ersätter costvå a = 1 - syndtvå a erhålls:
cos 2 α = costvå a - (1- costvå a) = 2 costvå a -1
I det sista uttrycket, låt oss ersätta α för α / 2, följande återstår:
cos α = 2 cos två(a / 2) -1
Lösning för:
Visa det:
Vi kommer att arbeta den vänstra termen algebraiskt så att den ser ut som den rätta. Eftersom sin x förekommer i rätt term är det första steget att uttrycka costvåx i termer av sin x så att allt är i samma trigonometriska förhållande:
Sedan tas 1 - synd medtvå x eftersom det är en skillnad mellan perfekta rutor. För att göra detta rensar det den grundläggande identiteten:
costvåx = 1 - syndtvå x
1 - sentvå x = (1- sin x) (1 + sinx)
Och faktoriseringen ersätts i det ursprungliga uttrycket:
Termen (1-sinx) förenklas och en jämlikhet kvarstår:
1 + sin x = 1 + sinx
Lös följande trigonometriska ekvation och ge lösningen för värden mellan 0 och 360º:
tg x + sektvå x = 3
I termen till vänster finns det två trigonometriska förhållanden, därför är det nödvändigt att reducera allt till en enda, för att kunna lösa det okända. Termen sektvå x uttrycks genom en av de pythagoreiska identiteterna:
sektvå a = 1 + tgtvå a
Att ersätta i ekvationen kvarstår:
tg x + 1 + tgtvå x = 3
Ordna om villkoren:
tgtvå x + tg x + 1 = 3
Denna ekvation löses genom att ändra variabeln:
tg x = u
ellertvå + u + 1 - 3 = 0 → utvå + u - 2 = 0
Denna kvadratiska ekvation är lätt att lösa genom fakturering:
(u +2) (u-1) = 0
Därför u1 = -2 och utvå = 1, vilket motsvarar:
tg x1 = -2
tg xtvå = 1
Till sist:
x1 = arctg (-2) = 296,6º
xtvå = arctg (1) = 45º
Ingen har kommenterat den här artikeln än.