De obestämd integral är den inversa funktionen av härledningen och för att beteckna den används symbolen för de långsträckta "s": ∫. Matematiskt skrivs den obestämda integralen av funktionen F (x):
∫F (x) dx = f (x) + C.
Där integrand F (x) = f '(x) är en funktion av variabeln x, vilket i sin tur är derivatet av en annan funktion f (x), kallad integral eller antiderivativ.
I sin tur är C en konstant som kallas konstant integration, som alltid följer med resultatet av varje obestämd integral. Vi kommer att se dess ursprung omedelbart genom ett exempel.
Antag att vi ombeds att hitta följande obestämda integral I:
I = ∫x.dx
Omedelbart identifieras f '(x) med x. Det betyder att vi måste tillhandahålla en funktion f (x) så att dess derivat är x, vilket inte är svårt:
f (x) = ½ xtvå
Vi vet att genom att differentiera f (x) får vi f '(x), vi kontrollerar det:
[½ xtvå] '= 2. (½ x) = x
Nu är funktionen: f (x) = ½ xtvå + 2 uppfyller också kravet, eftersom härledningen är linjär och derivatet av en konstant är 0. Andra funktioner som när härledda ger f (x) = är:
½ xtvå -1, ½ xtvå + femton; ½ xtvå - √2 ...
Och i allmänhet alla funktioner i formuläret:
f (x) = ½ xtvå + C
De är korrekta svar på problemet.
Någon av dessa funktioner kallas antiderivativ eller primitiv för f '(x) = x och det är just för denna uppsättning av alla antiderivativa funktioner som kallas obestämd integral.
Det räcker att känna bara till en av primitiverna, för som det framgår är den enda skillnaden mellan dem den konstanta C-integrationen.
Om problemet innehåller initiala villkor är det möjligt att beräkna värdet på C för att passa dem (se det lösta exemplet nedan).
Artikelindex
I föregående exempel beräknades ∫x.dx eftersom en funktion f (x) var känd som, när den härleddes, resulterade i integrand.
Av denna anledning, från de mest kända funktionerna och deras derivat, kan grundläggande integraler snabbt lösas.
Dessutom finns det några viktiga egenskaper som utökar möjligheterna när man löser en integral. Vara k ett riktigt tal, då är det sant att:
1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + C
2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx
3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx
4.- ∫xn dx = [xn + 1/ n + 1] + C (n ~ -1)
5.- ∫x -1 dx = ln x + C.
Beroende på integrand finns olika algebraiska och numeriska metoder för att lösa integraler. Här nämner vi:
-Variabel förändring
-Algebraiska och trigonometriska substitutioner.
-Integrering av delar
-Sönderdelning i enkla fraktioner för integrering av rationell typ
-Använda tabeller
-Numeriska metoder.
Det finns integraler som kan lösas med mer än en metod. Tyvärr finns det inget enda kriterium för att på förhand bestämma den mest effektiva metoden för att lösa en given integral.
Faktum är att vissa metoder gör att du kan nå lösningen på vissa integraler snabbare än andra. Men sanningen är att för att förvärva integrerade färdighetslösningar måste du öva med varje metod.
Sortera ut:
Låt oss göra en enkel ändring av variabeln för den subradiska storleken:
u = x-3
Med:
x = u + 3
Att härleda båda sidor i något av de två uttrycken ger:
dx = du
Nu ersätter vi integralen, som vi kommer att beteckna som jag:
I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u + 3) (√u) du = ∫ (u + 3) u1/2 du
Vi tillämpar fördelningsegendom och multiplicering av befogenheter med lika bas och vi får:
I = ∫ (u3/2 + 3 u1/2) du
Efter egendom 3 från föregående avsnitt:
Jag = ∫ u3/2 du + ∫ 3u1/2 du
Nu tillämpas egendom 4, som kallas makten:
Du3/2 du = [u 3/2 + 1 / (3/2 + 1)] + C1 =
= [u5/2 / (5/2)] + C1 = (2/5) u5/2 + C1
∫ 3u1/2 du = 3 ∫u1/2 du = 3 [u3/2 / (3/2)] + Ctvå =
= 3 (2/3) u3/2 + Ctvå = 2u3/2 + Ctvå
Sedan sammanställs resultaten i I:
I = (2/5) u5/2 + 2u3/2 + C
De två konstanterna kan kombineras till en utan problem. Slutligen glöm inte att returnera ändringen av variabeln som gjordes tidigare och uttrycka resultatet i termer av den ursprungliga variabeln x:
I = (2/5) (x-3)5/2 + 2 (x-3)3/2 + C
Det är möjligt att ta hänsyn till resultatet:
I = 2 (x-3) 3/2 [(1/5) (x-3) +1] + C = (2/5) (x-3) 3/2 (x + 2) + C
Den obestämda integralen gäller många modeller inom natur- och samhällsvetenskap, till exempel:
I lösningen av rörelseproblem, att beräkna mobilens hastighet, känna till dess acceleration och vid beräkningen av positionen för en mobil, känna till dess hastighet.
Till exempel vid beräkning av produktionskostnader för varor och modellering av en efterfrågefunktion.
Den minsta hastighet som krävs för att ett objekt ska undkomma jordens gravitationskraft ges av:
I detta uttryck:
-v är hastigheten på objektet som vill fly från jorden
-y är det avstånd som mäts från centrum av planeten
-M är landmassan
-G är konstant av gravitation
Det ombeds att hitta förhållandet mellan v Y Y, lösa de obestämda integralerna, om objektet ges en initial hastighet veller och jordens radie är känd och kallas R.
Vi presenteras med två obestämda integraler att lösa med hjälp av integrationsreglerna:
Jag1 = ∫v dv = vtvå/ 2 + C1
Jagtvå = -GM ∫ (1 / ytvå) dy = -GM ^ y-två dy = -GM [y-2 + 1/ (- 2 + 1)] + Ctvå = GM. Y-1 + Ctvå
Vi likställer jag1 och jagtvå:
vtvå/ 2 + C1 = GM. Y-1 + Ctvå
De två konstanterna kan kombineras till en:
När integralerna har lösts tillämpar vi de initiala förhållandena, som är följande: när objektet befinner sig på jordens yta ligger det på ett avstånd R från dess centrum. I uttalandet säger de oss att y är det avstånd som mäts från jordens centrum.
Och bara att vara på ytan är att den ges den initiala hastigheten vo med vilken den kommer att fly från planetens gravitation. Därför kan vi fastställa att v (R) = veller. I så fall hindrar ingenting oss från att ersätta detta tillstånd i det resultat vi just erhöll:
Och eftersom veller är känt, och så är G, M och R, vi kan lösa värdet av konstanten för integration C:
Som vi kan ersätta med resultatet av integralerna:
Och slutligen rensar vi vtvå, factoring och gruppering på lämpligt sätt:
Detta är uttrycket som relaterar hastigheten v av en satellit som har avfyrats från planetens yta (med radie R) med initial hastighet vo, när det är på avstånd Y från mitten av planeten.
Ingen har kommenterat den här artikeln än.