De Keplers lagar på planetrörelse formulerades av den tyska astronomen Johannes Kepler (1571-1630). Kepler härledde dem baserat på arbetet med sin lärare den danska astronomen Tycho Brahe (1546-1601).
Brahe sammanställde noggrant data om planetrörelser under mer än 20 år med överraskande precision och noggrannhet, med tanke på att teleskopet ännu inte hade uppfunnits. Giltigheten för dina uppgifter är fortfarande giltig idag.
Artikelindex
Keplers lagar säger:
-Första lagen: alla planeter beskriver elliptiska banor med solen i ett av fokuserna.
-Andra lagen eller lagen om lika områden: en linje riktad från solen till vilken planet som helst (fokalradie), sveper lika stora områden på lika tid.
-Tredje lagen: kvadraten för den tid det tar för en planet att kretsa kring solen är proportionell mot kuben för dess genomsnittliga avstånd från solen.
Vara T sa tiden, ringde omloppsperiod, Y r det genomsnittliga avståndet, sedan:
Ttvå är proportionell mot r3
T = k r3
Detta betyder att kvoten Ttvå/ r3 är densamma för alla planeter, vilket gör det möjligt att beräkna omloppsradien, om omloppstiden är känd.
När T uttrycks i år och r i astronomiska enheter AU * är proportionalitetskonstanten k = 1:
Ttvå= r3
* En astronomisk enhet motsvarar 150 miljoner kilometer, vilket är det genomsnittliga avståndet mellan jorden och solen. Jordens omloppsperiod är 1 år.
Den allmänna gravitationslagen säger att storleken på dragningskraftens attraktionskraft mellan två massföremål M Y m vars centrum är åtskilda av ett avstånd r, ges av:
F = G mM / rtvå
G är den universella gravitationskonstanten och dess värde är G = 6,674 x 10 -elva N.mtvå/ kgtvå .
Nu är planeternas banor elliptiska med mycket liten excentricitet.
Detta innebär att banan inte är mycket långt från en omkrets, förutom i vissa fall som dvärgplaneten Pluto. Om vi approximerar banorna till den cirkulära formen är accelerationen av planetens rörelse:
tillc = vtvå/ r
Med tanke på F = ma, ha:
G mM / rtvå = m.vtvå/ r
Här v är planetens linjära hastighet runt solen, antagen statisk och massa M, medan planet är det m. Sedan:
Detta förklarar att planeterna längre bort från solen har en lägre omloppshastighet, eftersom detta beror på 1 / √r.
Eftersom avståndet som planeten färdas är ungefär längden på omkretsen: L = 2πr och det tar en tid som är lika med T, omloppsperioden, får vi:
v = 2πr / T
Att jämföra båda uttrycken för v ger ett giltigt uttryck för Ttvå, omloppsperiodens kvadrat:
Och detta är just Keplers tredje lag, eftersom parentesen i detta uttryck 4πtvå / GM är därför konstant Ttvå är proportionell mot avståndet r kubad.
Den slutgiltiga ekvationen för omloppsperioden erhålls genom att ta kvadratroten:
Hur mycket är solens massa värd? Det är möjligt att ta reda på det med denna ekvation. Vi vet att jordens omloppsperiod är ett år och omloppsradien är 1 AU, motsvarande 150 miljoner kilometer, så vi har alla nödvändiga data.
I vår tidigare ekvation löser vi för M, inte utan att först konvertera alla värden till det internationella systemet för enheter SI:
1 år = 3,16 x 107 sekunder.
1 AU = 150 miljoner km = 1,5 x 10elva m.
Även om Kepler bara hade planeterna i åtanke när han härledde sina berömda lagar, är dessa också giltiga för rörelser av satelliter och andra kroppar i solsystemet, som vi kommer att se nedan..
Att veta att Jupiters bana är 5,19 gånger jordens, hitta Jupiters omloppsperiod.
Enligt definitionen av den astronomiska enheten är Jupiter långt ifrån solen 5.19 AU, därför enligt Keplers tredje lag:
Ttvå= r3= (5,19)3 år
Därför T = (5,19)3/2 år = 11,8 år
Kometen Halley besöker solen vart 75,3 år. Hitta:
a) Halvhuvudaxeln för dess bana.
b) Aphelion-måttet, om perihelion mäter 0,568 AU.
Kometen Halley besöker solen vart 75,3 år. Hitta:
a) Halvhuvudaxeln för dess bana.
b) Aphelion-måttet, om perihelion mäter 0,568 AU.
När en planet eller någon annan stjärna befinner sig närmast solen, sägs den vara i perihelium, och när det är längre bort, in aphelion. I det speciella fallet med en cirkulär bana är r i Keplers tredje lag radien på banan.
I den elliptiska omloppet är himmelkroppen emellertid mer eller mindre långt från solen, den halvhuvudaxeln "a" är medelvärdet mellan aphelion och perihelion:
Därför ersätter vi r för a i Keplers tredje lag, vilket resulterar för Halley i:
Ttvå= a3→ a = (T)2/3 → a = (75,3) 2/3 UA = 17,832 UA
a = ½ (Perihelion + Aphelion)
17.832 = ½ (0.568+ Aphelion) → Aphelion = 2 x 17.832 - 0.568 AU = 35.10 AU.
Att analysera planeternas rörelse kräver veckor, månader och till och med år av noggrann observation och inspelning. Men i laboratoriet kan ett mycket enkelt skalaexperiment genomföras för att bevisa att Keplers lag om lika områden gäller..
För detta krävs ett fysiskt system där kraften som styr rörelsen är central, ett tillräckligt villkor för att lagen i områden ska kunna uppfyllas. Ett sådant system består av en massa bunden till ett långt rep, med den andra änden av tråden fäst vid ett stöd..
Massan flyttas en liten vinkel från dess jämviktsposition och en liten impuls ges till den, så att den utför en oval (nästan elliptisk) rörelse i det horisontella planet, som om det vore en planet runt solen..
På den kurva som beskrivs av pendeln kan vi bevisa att den sveper lika stora områden på lika tid, om:
-Vi betraktar vektorradier som går från attraktionscentrumet (initialpunkt för jämvikt) till massans position.
-Och vi sveper mellan två på varandra följande ögonblick av samma varaktighet, i två olika områden av rörelsen.
Ju längre pendelsträngen är och ju mindre vinkeln bort från vertikalen, kommer nätåterställningskraften att vara mer horisontell och simuleringen liknar fallet med rörelse med central kraft i ett plan.
Sedan närmar sig den beskrivna ovalen en ellips, som den som planeterna färdas.
-Oförlängningsbar tråd
-1 deg eller metallkula målad vit som fungerar som en pendelbob
-Linjal
-Transportband
-Fotografisk kamera med automatisk strobdisk
-Fästen
-Två ljuskällor
-Ett ark svart papper eller kartong
Montering av figuren behövs för att ta bilder av flera blinkningar i pendeln när den följer dess väg. För att göra detta måste du placera kameran precis ovanför pendeln och den automatiska strobdisken framför linsen.
På detta sätt erhålls bilder med regelbundna tidsintervall i pendeln, till exempel var 0,1: e eller var 0,2 sekund, vilket gör det möjligt att veta den tid det tog att flytta från en punkt till en annan..
Du måste också belysa pendelns massa ordentligt och sätta lamporna på båda sidor. Linsen bör målas vit för att förbättra kontrasten i bakgrunden, som består av ett svart papper som sprids på marken.
Nu måste du kontrollera att pendeln sveper lika stora områden på lika tid. För att göra detta väljs ett tidsintervall och de punkter som upptagits av pendeln i nämnda intervall markeras på papperet..
På bilden ritas en linje från mitten av den ovala till dessa punkter och därmed får vi det första av områdena svept av pendeln, vilket är ungefär en elliptisk sektor som den som visas nedan:
Vinklar mäts med gradskivan θeller Y θ1, och denna formel används för att hitta S, området för den elliptiska sektorn:
S = F (θ1) - F (θeller)
Med F (θ) getts av:
Anteckna det till Y b är halvhuvud respektive mindre axlar. Läsaren behöver bara oroa sig för att noggrant mäta halvaxlarna och vinklarna, eftersom det finns miniräknare online för att enkelt utvärdera detta uttryck..
Men om du insisterar på att göra beräkningen för hand, kom ihåg att vinkeln θ mäts i grader, men när du matar in data i räknaren måste värdena uttryckas i radianer.
Då måste du markera ytterligare ett par punkter där pendeln har inverterat samma tidsintervall och rita motsvarande område och beräkna värdet med samma procedur.
Slutligen återstår det att verifiera att lagen om områden är uppfylld, det vill säga att lika områden sopas på lika tid.
Avviker resultaten lite från vad som förväntades? Man måste alltid komma ihåg att alla mätningar åtföljs av deras respektive experimentfel.
Ingen har kommenterat den här artikeln än.