Exempel och övningar i Power Series

A power-serien består av en summering av termer i form av variabelns befogenheter x, eller mer allmänt, av x-c, var c är konstant reellt tal. I summeringsnotation uttrycks en serie befogenheter enligt följande:

∑a_n (x -c)ⁿ = a_eller + till₁ (x - c) + a_två (x - c)^två + till₃ (x - c)³ +... + A_n (x - c)ⁿ

Där koefficienterna a_eller, till₁, till_två... Är reella tal och serien börjar på n = 0.

Denna serie fokuserar på värde c vilket är konstant, men du kan välja vilken c är lika med 0, i vilket fall kraftserien förenklar till:

∑a_n xⁿ = a_eller + till₁ x + a_två x^två + till₃ x³ +... + A_n xⁿ

Serien börjar med till_eller(x-c)⁰ Y till_ellerx⁰ respektive. Men vi vet att:

(x-c)⁰= x⁰ = 1

Därför till_eller(x-c)⁰ = till_ellerx⁰ = till_eller (oberoende term)

Det bra med power-serien är att du kan uttrycka funktioner med dem och detta har många fördelar, särskilt om du vill arbeta med en komplicerad funktion.

När detta är fallet används istället för att använda funktionen direkt, dess expansion i effektserier, vilket kan vara lättare att härleda, integrera eller arbeta numeriskt..

Naturligtvis är allt villkorat för konvergensen av serien. En serie konvergerar när man lägger till ett visst stort antal termer ger ett fast värde. Och om vi fortfarande lägger till fler termer fortsätter vi att uppnå det värdet.

Artikelindex

• 1 Fungerar som Power Series
  • 1.1 Geometrisk kraftserie
• 2 Hur man hittar seriens utvidgning av befogenheter för en funktion
• 3 Träning
  • 3.1 - Övning löst 1
  • 3.2 - Övning löst 2
• 4 Referenser

Fungerar som Power Series

Som ett exempel på en funktion uttryckt som en kraftserie, låt oss ta f (x) = e^x.

Denna funktion kan uttryckas i termer av en serie befogenheter enligt följande:

och^x  ≈ 1 + x + (x^två / 2!) + (X³ / 3!) + (X⁴ / 4!) + (X⁵ / 5!) +…

Var! = n. (n-1). (n-2). (n-3) ... och det tar 0! = 1.

Vi ska kontrollera med hjälp av en miniräknare att serien faktiskt sammanfaller med den funktion som uttryckligen ges. Låt oss till exempel börja med att göra x = 0.

Vi vet att e⁰ = 1. Låt oss se vad serien gör:

och⁰ ≈ 1 + 0 + (0^två / 2!) + (0³ / 3!) + (0⁴ / 4!) + (0⁵ / 5!) +… = 1

Och nu ska vi försöka med x = 1. En miniräknare visar det och¹ = 2.71828, och sedan ska vi jämföra med serien:

och¹ ≈ 1 + 1 + (1^två / 2!) + (1³ / 3!) + (1⁴ / 4!) + (1⁵ / 5!) +… = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2,7167

Med bara fem termer har vi redan en exakt matchning e ≈ 2,71. Vår serie har bara lite mer att gå, men när fler termer läggs till konvergerar serien säkert till det exakta värdet av och. Representationen är exakt när n → ∞.

Om ovanstående analys upprepas till n = 2 mycket liknande resultat erhålls.

På detta sätt är vi säkra på att den exponentiella funktionen f (x) = e^x kan representeras av denna serie befogenheter:

Geometrisk serie av krafter

Funktionen f (x) = e^x det är inte den enda funktionen som stöder en Power Series-representation. Till exempel funktionen  F(x) = 1/1 - x  ser mycket ut som den välkända konvergerande geometriska serier:

∑a.rⁿ = a / 1 - r

Det räcker att göra a = 1 och r = x för att få en serie som är lämplig för denna funktion, som är centrerad vid c = 0:

Det är emellertid känt att denna serie är konvergent för │r│<1, por lo tanto la representación es válida únicamente en el intervalo (-1,1), aunque la función sea válida para todo x, excepto x=1.

När du vill definiera den här funktionen i ett annat intervall fokuserar du helt enkelt på ett lämpligt värde och du är klar..

Hur man hittar seriens utvidgning av befogenheter för en funktion

Vilken funktion som helst kan utvecklas i en kraftserie centrerad på c, så länge den har derivat av alla ordningar vid x = c. Förfarandet använder följande sats, kallad Taylors sats:

Låt f (x) vara en funktion med ordningsderivat n, betecknas som F⁽ⁿ⁾, vilket medger en serie maktutvidgning i intervallet Jag. Dess utveckling i taylor-serien det är:

Så att:

f (x) = f (c) + f '(c) (x-c) + f "(c) (x-c)^två / 2 + f "(c) (x-c)³ / 6 + ... R_n

Där R_n, som är den nionde termen i serien kallas återstod:

När c = 0 kallas serien Maclaurin-serien.

Den här serien som ges här är identisk med den serie som ges i början, bara nu har vi ett sätt att uttryckligen hitta koefficienterna för varje term, ges av:

Det måste dock säkerställas att serien konvergerar till den funktion som ska representeras. Det händer att inte alla Taylor-serier nödvändigtvis konvergerar till f (x) som man tänkte på när man beräknade koefficienterna till_n.

Detta händer eftersom kanske funktionens derivat, utvärderade i x = c sammanfaller med samma värde för derivat av en annan, även i x = c. I det här fallet skulle koefficienterna vara desamma, men utvecklingen skulle vara tvetydig eftersom det inte är säkert vilken funktion den motsvarar..

Lyckligtvis finns det ett sätt att veta:

Konvergenskriterium

För att undvika tvetydighet, om R_n → 0 när n → ∞ för alla x i intervallet I, konvergerar serien till f (x).

Övning

- Löst övning 1

Hitta Geometric Power Series för funktionen f (x) = 1/2 - x centrerad vid c = 0.

Lösning

Den givna funktionen måste uttryckas på ett sådant sätt att den sammanfaller så nära som möjligt med 1 / 1- x, vars serie är känd. Låt oss därför skriva om täljare och nämnare utan att ändra det ursprungliga uttrycket:

1/2 - x = (1/2) / [1 - (x / 2)]

Eftersom ½ är konstant kommer den ut ur summeringen och den skrivs i termer av den nya variabeln x / 2:

Observera att x = 2 inte tillhör funktionens domän och enligt konvergenskriteriet i avsnittet Geometrisk kraft serie, expansionen är giltig för │x / 2│< 1 o equivalentemente -2 < x < 2.

- Övning löst 2

Hitta de första 5 termerna i Maclaurin-seriens expansion av funktionen f (x) = sin x.

Lösning

Steg 1

Derivat hittas först:

-Derivat av ordning 0: det är samma funktion f (x) = sin x

-Första derivat: (sin x) '= cos x

-Andra derivat: (sin x) "= (cos x) '= - sin x

-Tredje derivat: (sin x) "= (-sen x) '= - cos x

-Fjärde derivat: (sin x) "= (- cos x) '= sin x

Steg 2

Därefter utvärderas varje derivat vid x = c, liksom en Maclaurin-expansion, c = 0:

sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sin 0 = 0; -cos O = -1; sin 0 = 0

Steg 3

Koefficienterna a är konstruerade_n;

till_eller = 0/0! = 0; till₁ = 1/1! = 1; till_två = 0/2! = 0; till₃ = -1 / 3! till₄ = 0/4! = 0

Steg 4

Slutligen monteras serien enligt:

sin x ≈ 0.x⁰ + 1. x¹ + 0 .x^två - (1/3!) X³ + 0.x⁴… = X - (1/3!)) X³  +...

Behöver läsaren fler villkor? Hur många fler kommer serien närmare funktionen.

Observera att det finns ett mönster i koefficienterna, nästa term som inte är noll är a₅ och alla med udda index skiljer sig också från 0, alternerande tecknen så att:

sin x ≈ x - (1/3!)) x³  + (1/5!)) X⁵ - (1/7!)) X⁷  +... .

Det är kvar som en övning för att kontrollera att den konvergerar, du kan använda kvotkriterium för seriekonvergens.

Referenser

1. CK-12 Foundation. Power Series: representation av funktioner och funktioner. Återställd från: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. Integral Calculus. National University of the Litoral.
3. Larson, R. 2010. Beräkning av en variabel. 9: e. Utgåva. Mcgraw hill.
4. Matematikfria texter. Power-serien. Återställd från: math.liibretexts.org.
5. Wikipedia. Power-serien. Återställd från: es.wikipedia.org.