Varignons sats

Vad är Varignons teorem?

Varignons sats, i Mechanics, säger att summan av de moment som produceras av ett system av samtidiga krafter med avseende på en viss punkt är lika med momentet för den resulterande kraften med avseende på samma punkt.

Av denna anledning är denna sats också känd som början på stunder.

Även om den första som förkunnade det var holländaren Simon Stevin (1548-1620), skaparen av den hydrostatiska paradoxen, var den franska matematikern Pierre Varignon (1654-1722) den som senare gav den sin slutliga form.

Ett exempel på hur Varignons teorem fungerar inom mekanik är följande: antag att ett enkelt system med två planar och samtidiga krafter verkar på en punkt F₁ Y F_två, (betecknas med fetstil på grund av deras vektortecken). Dessa krafter ger upphov till en netto eller resulterande kraft, kallad F_R.

Varje kraft utövar ett vridmoment eller moment kring en punkt O, som beräknas av vektorprodukten mellan positionsvektorn r_OP och styrkan F, var r_OP styrs från O till punkten för samtidighet P:

M_O1 = r_OP × F₁

M_O2 = r_OP × F_två

Med tanke på F_R = F₁ + F_två, sedan:

M_ELLER = r_OP × F₁ + r_OP × F_två = M_O1 + M_O2

Men hur r_OP är en vanlig faktor, då applicering av distribuerande egendom på tvärprodukten:

M_ELLER = r_OP × (F₁ + F_två) = r_OP × F_R                

Därför är summan av momenten eller vridmomenten för varje kraft med avseende på punkt O ekvivalent med momentet för den resulterande kraften med avseende på samma punkt.

Uttalande och bevis

Låt vara ett system av N samtidiga krafter, bildade av F₁, F_två, F₃... F_N, vars handlingslinjer skär varandra vid punkt P (se figur 1), momentet för detta kraftsystem M_ELLER, med avseende på en punkt O ges av:

M_ELLER = r_OP × F₁ + r_OP × F_två + r_OP × F₃ +... r_OP × F_N = r_OP × (F₁ + F_två + F₃ +... F_N)

Demonstration

För att bevisa satsen används den fördelande egenskapen hos vektorprodukten mellan vektorerna.

Var krafterna F₁, F_två, F₃... F_N tillämpas på punkterna A₁, TILL_två, TILL₃... TILL_N och samtidigt vid punkt P. Det resulterande ögonblicket för detta system, med avseende på en punkt O, kallas M_ELLER, är summan av momenten för varje kraft, med avseende på nämnda punkt:

M_ELLER = ∑ r_OAi × F_i

Där summan går från i = 1 till i = N, eftersom det finns N-krafter. Eftersom vi har att göra med samtidiga krafter och eftersom vektorprodukten mellan parallella vektorer är noll, händer det att:

r_PAi × F_i = 0

Med nollvektorn betecknad som 0.

Momentet för en av krafterna med avseende på O, till exempel kraften F_i tillämpas i A_i, det är skrivet så här:

M_{Jag hörde} = r_OAi × F_i

Positionsvektorn r_OAi  kan uttryckas som summan av två positionsvektorer:

r_OAi = r_OP + r_PAi

På detta sätt, ögonblicket om O av kraften F_i det är:

M_{Jag hörde} = (r_OP + r_PAi) × F_i = (r_OP × F_i) + (r_PAi × F_i)

Men den sista termen är noll, som förklarats ovan, för r_PAi är på handlingslinjen för F_i, Således:

M_{Jag hörde} = r_OP × F_i

Att veta att systemets ögonblick i förhållande till punkt O är summan av alla enskilda moment i varje kraft med avseende på nämnda punkt, då:

M_ELLER = ∑ M_{Jag hörde} = ∑ r_OP × F_i

Vad r_OP är konstant kommer ut av summan:

M_ELLER = r_OP × (∑ F_i)

Men ∑ F_i är helt enkelt nettokraften eller den resulterande kraften F_R, därför dras omedelbart slutsatsen att:

M_ELLER = r_OP × F_R

Exempel

Varignons sats underlättar beräkningen av kraftmomentet F Med avseende på punkt O i strukturen som visas i figuren, om kraften sönderdelas i dess rektangulära komponenter och momentet för var och en av dem beräknas:

Tillämpningar av Varignons teorem

När den resulterande kraften i ett system är känd, kan Varignons sats tillämpas för att ersätta summan av var och en av de moment som produceras av de krafter som komponerar den med den moment som den resulterande.

Om systemet består av krafter på samma plan och den punkt som momentet ska beräknas tillhör det planet är det resulterande momentet vinkelrätt.

Till exempel, om alla krafter finns i xy-planet, riktas ögonblicket i z-axeln och det återstår bara att hitta dess storlek och sin avkänning, så är fallet med exemplet som beskrivs ovan.

I det här fallet tillåter Varignons teorem oss att beräkna systemets resulterande ögonblick genom summeringen. Det är mycket användbart när det gäller ett tredimensionellt kraftsystem för vilket det resulterande ögonblickets riktning inte är känd på förhand.

För att lösa dessa övningar är det bekvämt att sönderdela krafter och positionera vektorer i deras rektangulära komponenter, och från summan av momenten bestämma komponenterna i nettomomentet.

Övningen löst

Beräkna momentet för kraften F runt den punkt O som visas i figuren med hjälp av Varignons teorem om storleken på F är 725 N.

Lösning

För att tillämpa Varignons sats, sönderdela kraften F i två komponenter, vars respektive moment runt O beräknas och adderas för att erhålla det resulterande ögonblicket.

F_x = 725 N ∙ cos 37 º = 579,0 N

F_Y = - 725 N N ∙ sin 37 º = −436,3 N

På samma sätt är positionsvektorn r riktad från O till A har komponenterna:

r_x = 2,5 m

r_Y = 5,0 m

Momentet för varje komponent i kraften kring O hittas genom att multiplicera kraften och det vinkelräta avståndet.

Båda krafterna tenderar att rotera strukturen i samma riktning, som i detta fall är medurs, till vilket ett positivt tecken godtyckligt tilldelas:

M_Oxe = F_x∙ r_Y ∙ sin 90º = 579,0 N ∙ 5,0 m = 2895 N ∙ m

M_Oy = F_Y∙ r_x ∙ sin (−90º) = −436,3 N ∙ 2,5 m ∙ (−1) = 1090,8 N ∙ m

Det resulterande ögonblicket om O är:

M_ELLER = M_Oxe + M_Oy = 3985,8 N ∙ m vinkelrätt mot planet och medurs.

Referenser

1. Bedford, 2000. A. Engineering Mechanics: Statics. Addison Wesley. 
2. Beer, F. 2010. Statisk. McGraw Hill. 9: e. Utgåva.
3. Hibbeler, R. 1992. Mekanik för ingenjörer. 6: e. Utgåva. CECSA.
4. HK Engineering. Varignons sats. Återställd från: youtube.com.
5. Wikipedia. Varignons teorem (mekanik). Återställd från: en.wikipedia.org.