De diskret Fourier-transform är en numerisk metod som används för att definiera sampel som hänvisar till de spektralfrekvenser som utgör en signal. Studera periodiska funktioner i slutna parametrar, vilket ger en annan diskret signal.
För att erhålla den diskreta Fourier-transformationen av N-punkter, på en diskret signal, måste följande 2 villkor vara uppfyllda på en sekvens x [n]
x [n] = 0 n < 0 ˄ n > N - 1
Om dessa villkor är uppfyllda kan den diskreta Fourier-transformen definieras som
Den diskreta Fouriertransformationen kan definieras som ett N-punktsprov av Fouriertransformen.
Artikelindex
Det finns två synpunkter från vilka resultaten erhållna på en sekvens x kan tolkass[n] genom den diskreta Fourier-transformen.
-Den första motsvarar de spektrala koefficienter som redan är kända från Fourier-serien. Det observeras i diskreta periodiska signaler, med sampel som sammanfaller med sekvensen xs[n].
-Den andra handlar om spektrumet för en diskret aperiodisk signal, med sampel som motsvarar sekvensen xs[n].
Den diskreta transformationen är en approximation till spektrumet för den ursprungliga analoga signalen. Dess fas beror på samplingsögonblicken, medan dess storlek beror på samplingsintervallet..
De algebraiska grunden för strukturen utgör de logiska baserna i följande avsnitt.
C. Sn → C. F [Sk]; Om en sekvens multipliceras med en skalär, kommer dess transformation också att vara.
Tn + Vn = F [Tk] + F [Vk]; Transformationen av en summa är lika med summan av transformationerna.
F [Sn] → (1 / N) S-k; Om den diskreta Fourier-transformen beräknas om till ett redan transformerat uttryck erhålls samma uttryck, skalat i N och inverterat med avseende på den vertikala axeln.
För att uppnå liknande mål som i Laplace-transformen hänför sig funktionsklyvning till produkten mellan deras Fourier-transformer. Konvolution gäller också diskreta tider och ansvarar för många moderna procedurer..
Xn * Rn → F [Xn] .F [Rn]; Transformationen av en faltning är lika med transformationsprodukten.
Xn . Rn→ F [Xn] * F [Rn]; Transformationen av en produkt är lika med transformationen.
Xn-m → F [Xk] e -i (2π / N) km ; Om en sekvens fördröjs i m-sampel kommer dess effekt på den diskreta transformen att vara en modifiering av vinkeln definierad av (2π / N) km.
Xt [-k] = X *t[k] = Xt [N - K]
W-nmN . x [n] ↔ Xt[k - m]
x [n] y [n] ↔ (1 / N) Xt[k] * Yt[k]
X [-n] ↔ Xt[-k] = X *t[k]
x * [n] ↔ X *t[-k]
När det gäller den konventionella Fourier-transformen har den flera likheter och skillnader. Fourier-transformen omvandlar en sekvens till en hel linje. På detta sätt sägs att resultatet av Fourier-variabeln är en komplex funktion av en verklig variabel.
Den diskreta Fourier-transformationen, till skillnad från, mottar en diskret signal och omvandlar den till en annan diskret signal, det vill säga en sekvens.
De tjänar främst till att väsentligt förenkla ekvationer, samtidigt som härledda uttryck transformeras till kraftelement. Betecknar differentiella uttryck i form av integrerbara polynom.
Vid optimering, modulering och modellering av resultat fungerar det som ett standardiserat uttryck och är en frekvent resurs för teknik efter flera generationer.
Detta matematiska koncept presenterades av Joseph B. Fourier 1811, samtidigt som han utvecklade en avhandling om värmespridning. Det antogs snabbt av olika grenar av vetenskap och teknik.
Det etablerades som det huvudsakliga arbetsverktyget i studien av ekvationer med partiella derivat, även jämföra det med det befintliga arbetsförhållandet mellan Laplace-transformation och vanliga differentialekvationer.
Varje funktion som kan arbetas med en Fourier-transform måste presentera null utanför en definierad parameter.
Den diskreta transformen erhålls genom uttrycket:
Efter att ha gett en diskret sekvens X [n]
Den inversa av den diskreta Fourier-transformen definieras genom uttrycket:
När den diskreta transformen har uppnåtts tillåter den att definiera sekvensen i tidsdomänen X [n].
Parametriseringsprocessen som motsvarar den diskreta Fourier-transformationen ligger i fönstret. För att genomföra transformationen måste vi begränsa sekvensen i tid. I många fall har signalerna i fråga inte dessa begränsningar.
En sekvens som inte uppfyller de storlekskriterier som ska tillämpas på den diskreta transformeringen kan multipliceras med en "fönster" -funktion V [n], som definierar sekvensens beteende i en kontrollerad parameter.
X [n]. V [n]
Spektrumets bredd beror på fönstrets bredd. När fönstrets bredd ökar blir den beräknade transformationen smalare.
Den diskreta Fouriertransformationen är ett kraftfullt verktyg för studier av diskreta sekvenser.
Den diskreta Fouriertransformen förvandlar en kontinuerlig variabelfunktion till en diskret variabeltransformation.
Cauchy-problemet för värmeekvationen presenterar ett frekvent tillämpningsområde för den diskreta Fourier-transformationen. Där funktionen genereras värmekärna eller Dirichlet-kärna, vilket gäller för sampling av värden i en definierad parameter.
Den allmänna anledningen till tillämpningen av den diskreta Fourier-transformen i denna gren beror främst på den karakteristiska nedbrytningen av en signal som en oändlig överlagring av lättare behandlingsbara signaler.
Det kan vara en ljudvåg eller en elektromagnetisk våg, den diskreta Fourier-transformen uttrycker den i en superposition av enkla vågor. Denna framställning är ganska frekvent inom elektroteknik.
De är serier definierade i termer av Cosines och Sines. De tjänar till att underlätta arbete med allmänna periodiska funktioner. När de används är de en del av teknikerna för att lösa vanliga och partiella differentialekvationer..
Fourier-serien är ännu mer generella än Taylor-serien, eftersom de utvecklar periodiska diskontinuerliga funktioner som inte har en Taylor-serierepresentation..
För att förstå Fourier-transformationen analytiskt är det viktigt att granska de andra sätten på vilka Fourier-serien kan hittas tills vi kan definiera Fourier-serien i dess komplexa notation..
Många gånger är det nödvändigt att anpassa strukturen för en Fourier-serie till periodiska funktioner vars period är p = 2L> 0 i intervallet [-L, L].
Intervallet [-π, π] beaktas, vilket ger fördelar när man utnyttjar funktionernas symmetriska egenskaper.
Om f är jämnt etableras Fourier-serien som en serie Cosines.
Om f är udda etableras Fourier-serien som en serie Sines.
Om vi har en funktion f (t), som uppfyller alla kraven i Fourier-serien, är det möjligt att beteckna den i intervallet [-t, t] med dess komplexa notation:
När det gäller beräkningen av den grundläggande lösningen presenteras följande exempel:
Laplace-ekvation
Värmeekvation
Schrödinger ekvation
Vågekvation
Å andra sidan är följande exempel på tillämpningen av den diskreta Fourier-transformen inom signalteori:
-Systemidentifieringsproblem. Etablerat f och g
-Utgångssignalens konsistensproblem
-Problem med signalfiltrering
Beräkna den diskreta Fourier-transformationen för följande sekvens.
Du kan definiera kraftuttaget på x [n] som:
Xt[k] = 4, -j2, 0, j2 för k = 0, 1, 2, 3
Vi vill genom en digital algoritm bestämma den spektralsignal som definieras av uttrycket x (t) = e-t. Där den högsta frekvensen som begär koefficienten är fm= 1Hz. En överton överensstämmer med f = 0,3 Hz. Felet är begränsat till mindre än 5%. Beräkna Fs , D och N.
Med hänsyn till provtagningssatsen Fs = 2fm = 2 Hz
En frekvensupplösning på F0 = 0,1 Hz, varifrån du får D = 1 / 0,1 = 10s
0,3 Hz är frekvensen som motsvarar indexet k = 3, där N = 3 × 8 = 24 sampel. Indikerar att Fs = N / A = 24/10 = 2,4> 2
Eftersom målet är att få lägsta möjliga värde för N kan följande värden betraktas som en lösning:
F0 = 0,3 Hz
D = 1 / 0,3 = 3,33 s
k = 1
N = 1 × 8 = 8
Ingen har kommenterat den här artikeln än.