Vektoregenskaper och egenskaper, element, typer, exempel

De vektor De är matematiska enheter som har en -positiv-storlek, vanligtvis åtföljda av en måttenhet, såväl som riktning och känsla. Sådana egenskaper är mycket lämpliga för att beskriva fysiska mängder som hastighet, kraft, acceleration och många fler..

Med vektorer är det möjligt att utföra operationer som addition, subtraktion och produkter. Division är inte definierad för vektorer och som för produkten, det finns tre klasser som vi kommer att beskriva senare: punktprodukt eller punkt, vektorprodukt eller kors och produkt av en skalär med en vektor.

För att fullständigt beskriva en vektor är det nödvändigt att ange alla dess egenskaper. Storleken eller modulen är ett numeriskt värde tillsammans med en enhet, medan riktningen och riktningen fastställs med hjälp av ett koordinatsystem.

Låt oss titta på ett exempel: låt oss säga att ett flygplan flyger från en stad till en annan med en hastighet av 850 km / h i en NE-riktning. Här har vi en helt specificerad vektor, eftersom storleken är tillgänglig: 850 km / h, medan riktningen och känslan är NE.

Vektorer representeras vanligtvis grafiskt av orienterade linjesegment, vars längd är proportionell mot storleken.

Medan för att specificera riktningen och avkänningen krävs en referenslinje, som vanligtvis är den horisontella axeln, även om norr också kan ses som en referens, så är fallet med planetens hastighet:

Figuren visar hastighetsvektorn för planet, som betecknas som v på djärv, för att särskilja den från en skalär kvantitet, som bara kräver ett numeriskt värde och någon enhet som ska anges.

Artikelindex

• 1 Element av en vektor
  • 1.1 Rektangulära komponenter i en vektor
• 2 typer
  • 2.1 Ortogonala enhetsvektorer
• 3 Summan av vektorerna
  • 3.1 Egenskaper för vektortillsats
• 4 vektorexempel
• 5 Andra operationer mellan vektorer
  • 5.1 Produkt av skalär och vektor
  • 5.2 Skalarprodukt eller prickprodukt mellan vektorer
  • 5.3 Korsprodukt eller korsprodukt mellan vektorer
• 6 Lösta övningar
  • 6.1 - Övning 1
  • 6.2 - Övning 2
• 7 Referenser

Element av en vektor

Som vi har sagt är elementen i vektorn:

-Storlek eller modul, ibland även kallat absolut värde eller norm för vektorn.

-Riktning

-Känsla

I exemplet i figur 2, modulen v Det är 850 km / h. Modulen betecknas som v utan fetstil, eller som |v|, där staplarna representerar det absoluta värdet.

Adressen till v specificeras med avseende på norr. I det här fallet är det 45º norr om öst (45º NO). Slutligen informerar pilens spets om riktningen på v.

I detta exempel har vektorns ursprung ritats sammanfallande med ursprung O för koordinatsystemet, detta är känt som bunden vektor. Å andra sidan, om ursprunget till vektorn inte sammanfaller med referenssystemets, sägs det vara ett fri vektor.

Det bör noteras att för att fullständigt specificera vektorn måste dessa tre element noteras, annars skulle beskrivningen av vektorn vara ofullständig.

Rektangulära komponenter i en vektor

I bilden har vi vårt exempel på vektor tillbaka v, det är i planet xy.

Det är lätt att se att projektionerna av v på x- och y-koordinataxlarna bestämmer en rätt triangel. Dessa prognoser är v_Y Y v_x och kallas rektangulära komponenter av v.

Ett sätt att beteckna v genom sina rektangulära komponenter är så här: v = x, v_Y>. Dessa parenteser används istället för parenteser för att betona det faktum att det är en vektor och inte en punkt, eftersom i detta fall parenteser skulle användas.

Om vektorn finns i ett tredimensionellt utrymme behövs ytterligare en komponent så att:

v = x, v_Y, v_z>

Att känna till de rektangulära komponenterna, beräknas storleken på vektorn, motsvarande att hitta hypotenusen i den högra triangeln vars ben är v_x Y v_Y,. Med hjälp av Pythagoras teorem följer följande:

|v|^två = (v_x)^två +  (v_Y)^två

Polär form av en vektor

När storleken på vektorn är känd |v| och vinkeln θ som detta bildar med referensaxeln, vanligtvis den horisontella axeln, är vektorn också specificerad. Vektorn sägs sedan uttrycka sig i polär form.

De rektangulära komponenterna i detta fall beräknas enkelt:

v_x = |v| .cos θ

v_Y = |v| .sen θ

Enligt ovanstående, de rektangulära komponenterna i hastighetsvektorn v av planet skulle vara:

v_x = 850. cos 45º km / h = 601,04 km / h

v_Y = 850. sin 45º km / h = 601,04 km / h

Typer

Det finns flera typer av vektorer. Det finns vektorer av hastighet, position, förskjutning, kraft, elektriskt fält, momentum och många fler. Som vi redan har sagt finns det ett stort antal vektormängder inom fysiken.

När det gäller vektorer som har vissa egenskaper kan vi nämna följande typer av vektorer:

-Null: dessa är vektorer vars storlek är 0 och som betecknas som 0. Kom ihåg att den fetstilta bokstaven symboliserar de tre grundläggande egenskaperna hos en vektor, medan den normala bokstaven endast representerar modulen.

Till exempel, på en kropp i statisk jämvikt måste summan av krafter vara en nollvektor.

-Fri och bunden: fria vektorer är de vars ursprung och ankomstpunkter är ett par punkter i planet eller i rymden, till skillnad från länkade vektorer, vars ursprung sammanfaller med referenssystemet som används för att beskriva dem.

Paret eller ögonblicket som produceras av ett par krafter är ett bra exempel på en fri vektor, eftersom paret inte gäller någon särskild punkt.

-Teamlinser: de är två fria vektorer som har identiska egenskaper. Därför har de samma storlek, riktning och känsla.

-Coplanar eller coplanar: vektorer som tillhör samma plan.

-Motsatser: vektorer med samma storlek och riktning, men motsatta riktningar. Vektorn mittemot en vektor v är vektorn -v och summan av båda är nollvektorn: v + (-v) = 0.

-Samverkande: vektorer vars handlingslinjer alla passerar genom samma punkt.

-Skjutreglage: är de vektorer vars applikationspunkt kan glida längs en viss linje.

-Collinear: vektorer som finns på samma rad.

-Enhetlig: de vektorer vars modul är 1.

Rätvinkliga enhetsvektorer

Det finns en mycket användbar typ av vektor i fysik som kallas en ortogonal enhetsvektor. Den ortogonala enhetsvektorn har en modul lika med 1 och enheterna kan vara vilken som helst, till exempel de med hastighet, position, kraft eller andra.

Det finns en uppsättning specialvektorer som hjälper till att enkelt representera andra vektorer och utföra operationer på dem: de är ortogonala enhetsvektorer i, j Y k, enhetliga och vinkelräta mot varandra.

I två dimensioner är dessa vektorer riktade längs båda axelns positiva riktning x från axeln Y. Och i tre dimensioner läggs en enhetsvektor i axelns riktning z positiv. De representeras enligt följande:

i = <1, 0,0>

j = < 0,1,0>

k = <0,0,1>

En vektor kan representeras av enhetsvektorerna i, j Y k som följer:

v = v_x i + v_Y j + v_z k

Till exempel hastighetsvektorn v från ovanstående exempel kan skrivas som:

v = 601,04 i + 601.04 j km / h

Komponenten i k är inte nödvändigt, eftersom denna vektor finns i planet.

Vector tillägg

Summen av vektorer visas mycket ofta i olika situationer, till exempel när du vill hitta den resulterande kraften på ett objekt som påverkas av olika krafter. Antag att vi har två fria vektorer för att börja eller Y v på planet, som visas i följande bild till vänster:

Den flyttas omedelbart försiktigt till vektorn v, utan att ändra dess storlek, riktning eller känsla så att dess ursprung sammanfaller med slutet av eller.

Summan vektorn kallas w och dras med början från och slutar med v, enligt rätt figur. Det är viktigt att notera att storleken på vektorn w är inte nödvändigtvis summan av storleken på v Y eller.

Om du funderar över det noga är den enda gången som den resulterande vektorn är summan av tilläggens storlek, när båda tilläggen är i samma riktning och har samma mening..

Och vad händer om vektorerna inte är fria? Det är också väldigt enkelt att lägga till dem. Sättet att göra det är att lägga till komponent till komponent eller analysmetod.

Som ett exempel, låt oss betrakta vektorerna i följande figur, det första är att uttrycka dem på ett av de kartesiska sätten som tidigare förklarats:

v = <5,1>

eller = <2,3>

För att få in komponenten x av sumvektorn w, respektive komponenter läggs till i x från v Y eller: w_x = 5 + 2 = 7. Och att få w_Y ett analogt förfarande följs: w_Y = 1 + 3. Därför:

eller = <7,4>

Egenskaper för vektortillsats

-Summan av två eller flera vektorer resulterar i en annan vektor.

-Det är kommutativt, ordningen på tilläggen ändrar inte summan, på ett sådant sätt att:

eller + v = v + eller

-Det neutrala elementet i summan av vektorer är nollvektorn: v + 0 = v

-Subtraktionen av två vektorer definieras som summan av det motsatta: v - u = v + (-eller)

Vektor exempel

Som vi har sagt finns det många fysikaliska vektormängder. Bland de mest kända är:

-Placera

-Förflyttning

-Genomsnittlig hastighet och momentan hastighet

-Acceleration

-Tvinga

-Mängd rörelse

-Moment eller moment av en kraft

-Impuls

-elektriskt fält

-Magnetiskt fält

-Magnetiskt ögonblick

Å andra sidan är de inte vektorer utan skalärer:

-Väder

-Massa

-Temperatur

-Volym

-Densitet

-Mekaniskt arbete

-Energi

-Varm

-Kraft

-Spänning

-Elektrisk ström

Andra operationer mellan vektorer

Förutom addition och subtraktion av vektorer finns det tre andra mycket viktiga operationer mellan vektorer, eftersom de ger upphov till nya mycket viktiga fysiska mängder:

-Produkt av en skalär och en vektor.

-Punktprodukten eller punktprodukten mellan vektorerna

-Och kors- eller vektorprodukten mellan två vektorer.

Produkt av en skalär och en vektor

Tänk på Newtons andra lag, som säger att styrkan F och acceleration till de är proportionella. Proportionalitetskonstanten är massan m av objektet, därför:

F = m.till

Massa är en skalär; kraft och acceleration är vektorer. Eftersom kraften erhålls genom att multiplicera massan med accelerationen är det resultatet av en skalarprodukt och en vektor.

Denna typ av produkt resulterar alltid i en vektor. Här är ett annat exempel: mängden rörelse. Vara P momentumvektorn, v hastighetsvektorn och som alltid, m är massan:

P = m.v

Punktprodukt eller prickprodukt mellan vektorerna

Vi har placerat mekaniskt arbete på listan över kvantiteter som inte är vektorer. Arbetet inom fysik är dock resultatet av en operation mellan vektorer som kallas skalärprodukt, inre produkt eller punktprodukt..

Låt vektorerna vara v Y eller, punktprodukten eller skalaren mellan dem definieras som:

v∙eller = |v| ∙ |eller | .cos θ

Där θ är vinkeln mellan de två. Från den visade ekvationen följer det omedelbart att resultatet av punktprodukten är en skalär och också att om båda vektorerna är vinkelräta, är deras skalära produkt 0.

Tillbaka till mekaniskt arbete W, detta är den skalära produkten mellan kraftvektorn F och förskjutningsvektorn ℓ.

W = F∙ℓ                  

När vektorer finns tillgängliga när det gäller deras komponenter är punktprodukten också mycket lätt att beräkna. Ja v = x, v_Y, v_z > Y eller = x, eller_Y, eller_z >, punktprodukten mellan de två är:

v∙eller = v_x eller_x + v_Y eller_Y + v_z eller_z

Punktprodukten mellan vektorer är kommutativ, därför:

v∙eller = eller∙v

Korsprodukt eller vektorprodukt mellan vektorer

Ja v och u är våra två exempelvektorer, vektorprodukten definieras som:

v x eller = w

Det följer omedelbart att korsprodukten resulterar i en vektor vars modul definieras som:

|v x u | = | v | . | u |. sen θ

Var θ är vinkeln mellan vektorerna.

Korsprodukten är därför inte kommutativ v x u ≠ u x v. Faktiskt v x u = - (u x v).

Om de två exempelvektorerna uttrycks i termer av enhetsvektorerna är beräkningen av vektorprodukten enklare:

v = v_x i + v_Y j + v_z k

eller = u_x i + eller_Y j + eller_z k

Korsa produkter mellan enhetsvektorer

Korsprodukten mellan identiska enhetsvektorer är noll, eftersom vinkeln mellan dem är 0º. Men mellan olika enhetsvektorer är vinkeln mellan dem 90º och sin 90º = 1.

Följande diagram hjälper till att hitta dessa produkter. I pilens riktning har den en positiv riktning och i motsatt riktning har den en negativ riktning:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j

Genom att använda den distribuerande egenskapen, som fortfarande är giltig för produkterna mellan vektorer plus egenskaperna hos enhetsvektorer, har vi:

v x eller = (v_x i + v_Y j + v_z k) x (u_x i + eller_Y j + eller_z k) =  

= (v_Yeller_z - v_zeller_Y )i + (v_zeller_x - v_xeller_z )j + (v_xeller_Y - v_Yeller_x )k

Lösta övningar

- Övning 1

Med tanke på vektorerna:

v = -5 i + 4j + 1 k

eller = 2 i -3 j + 7k

Vad ska vara vektorn w så att summan v + eller + w det visar sig 6 i +8 j -10k?

Lösning

-5 i + 4j + 1 k

två i -3 j + 7k

 w_x i + w_Y j + w_z k  +

--

6i + 8 j -10 k

Därför måste det uppfyllas att:

-5 +2 + w_x = 6 → w_x = 9

4-3 + w_Y = 8 → w_Y = 7

1 + 7 + w_z = -10 → w_z = -18

Svaret är: w = 9 i +7 j - 18k

- Övning 2

Vad är vinkeln mellan vektorerna v Y eller från övning 1?

Lösning

Vi kommer att använda prickprodukten. Från definitionen har vi:

cos θ = v∙eller / |v| ∙ |eller|

v∙eller= -10 -12 + 7 = -15

|v| = √ (-5)^två +4^två +1^två= √42 = 6,48

|eller| = √2^två +(-3)^två +7^två= √62 = 7,87

Ersätta dessa värden:

cos θ = -15 / 6,48 x 7,87 = -0,2941 → θ = 107,1 º

Referenser

1. Figueroa, D. (2005). Serie: Fysik för vetenskap och teknik. Volym 1. Kinematik. Redigerad av Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Fysik: principer med tillämpningar. 6: e. Ed prentice hall.
3. Rex, A. 2011. Grundläggande fysik. Pearson.
4. Sears, Zemansky. 2016. Universitetsfysik med modern fysik. 14: e. Utg. Volym 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Fysik för vetenskap och teknik. Volym 1. 7: e. Ed. Cengage Learning.